MICROECONOMÍA · TEMA 4

Equilibrio del consumidor con racionamiento

Maximización sujeta a restricción presupuestaria y cantidad máxima de un bien.

5 de abril de 2026 · ejercicio · 8 min

Un consumidor tiene la función de utilidad $U(x, y) = x^{1/2} y^{1/2}$ , donde $x$ e $y$ son dos bienes. Los precios son $p_x = 2$ y $p_y = 4$ , y la renta es $m = 40$ .

a) Calcule la cesta óptima si el consumidor puede comprar las cantidades que desee de cada bien.

b) Suponga ahora que existe un racionamiento que le impide comprar más de $\bar{x} = 5$ unidades del bien $x$ . ¿Cómo cambia la cesta óptima?

Planteamiento

Una Cobb-Douglas con exponentes iguales es la función de utilidad más común en los manuales de microeconomía intermedia. El truco es que, al estar los exponentes igualados, el consumidor gasta la mitad de su renta en cada bien cuando no hay restricciones. Vamos a verificarlo y luego a ver qué cambia con el racionamiento.

a) Sin racionamiento

El problema del consumidor es

\max_{x, y} \; x^{1/2} y^{1/2} \quad \text{s.a.} \quad 2x + 4y = 40.

El lagrangiano es

\mathcal{L} = x^{1/2} y^{1/2} - \lambda (2x + 4y - 40).

Las condiciones de primer orden son

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{1}{2} x^{-1/2} y^{1/2} - 2\lambda = 0,

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = \frac{1}{2} x^{1/2} y^{-1/2} - 4\lambda = 0.

Dividiendo la primera entre la segunda obtenemos la relación marginal de sustitución igual al ratio de precios:

\frac{y}{x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \Rightarrow \quad y = \frac{x}{2}.

Sustituyendo en la restricción presupuestaria:

2x + 4 \cdot \frac{x}{2} = 40 \quad \Rightarrow \quad 4x = 40 \quad \Rightarrow \quad x^* = 10.

Y por tanto $y^* = 5$ . La cesta óptima es $(10, 5)$ y la utilidad alcanzada es $U^* = \sqrt{10 \cdot 5} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$ .

b) Con racionamiento $\bar{x} = 5$

Ahora el consumidor no puede comprar $x^* = 10$ porque el máximo permitido es $\bar{x} = 5$ . Dado que la cesta óptima no restringida viola la cota, la restricción es activa: el consumidor comprará exactamente $x = 5$ .

¿Qué hace con el resto de la renta? Le quedan $40 - 2 \cdot 5 = 30$ para gastar en $y$ . A precio $p_y = 4$ , eso permite comprar

y = \frac{30}{4} = 7{,}5.

La nueva cesta es $(5, 7{,}5)$ con utilidad

U = \sqrt{5 \cdot 7{,}5} = \sqrt{37{,}5} \approx 6{,}12.

Interpretación

El racionamiento reduce la utilidad alcanzable: pasamos de $7{,}07$ a $6{,}12$ . Nótese que el consumidor reacciona al tope en $x$ gastando toda la renta sobrante en $y$ . No consume menos renta — consume más del otro bien. Esta es una intuición importante: el racionamiento distorsiona la cesta, no reduce el gasto total.

Nota final